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DESCOMPOSICIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS Volver al contenido principal

DESCOMPOSICIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS

Aunque utilicemos los términos de análisis de la varianza, esta prueba no hace sino comprobar una hipótesis acerca de las medias. Tal comprobación se realiza mediante una descomposición de la variabilidad total de las puntuaciones en dos componentes: varianza experimental y varianza de error.

a) La varianza experimental es la que se debe a los efectos de la variable o variables independientes. Esta varianza refleja las diferencias existentes entre los grupos, y son debidas a que cada grupo presenta un nivel distinto de la variable independiente. En el caso de que exista más de una variable independiente (análisis factorial de la varianza), la varianza experimental incluye tantas partes como variables e interacciones posibles entre las variables. Por ejemplo, en el caso en que interesaba estudiar los efectos del método de lectura y la clase social sobre el rendimiento, habría una varianza experimental debida al método, otra a la clase social y finalmente otra varianza experimental debida a la interacción del método y la clase social.

b) La varianza de error es aquella otra cuyo origen no es posible identificar. La varianza de error podría deberse a diferencias individuales dentro de cada muestra y no al efecto de la variable independiente.

Él análisis de la varianza se basará en comparar la varianza experimental (variación intergrupos) y la varianza de error (variación intragrupos)- Teniendo en cuenta que por azar es posible encontrar un cierto nivel de variabilidad dentro de los grupos, si la variabilidad intergrupos supera de forma significativa a la variabilidad observada dentro de los grupos, podemos afirmar que los efectos de la variable independiente son importantes, y en consecuencia, hay diferencias significativas entre ellos.

Para llevar a cabo el análisis de la varianza se parte de la descomposición de la suma de cuadrados, y no de la descomposición de la varianza. La suma de cuadrados es también una medida de variabilidad, pero que cuenta con la ventaja de ser aditiva, es decir, que el total puede descomponerse en la suma de las partes. Por este motivo, la descomposición de la variabilidad se hace a partir de la suma de cuadrados, y sólo al final se transforma ésta en para llevar a cabo la prueba de decisión estadística.

Veamos cómo procederíamos en el cálculo de las sumas de cuadrados total (SCt), la suma de cuadrados entre grupos (SCinter) y la suma de cuadrados dentro de los grupos (SCintra). Supongamos para ello, que en el ejemplo de los métodos de lectura hemos obtenido los siguientes resultados para el rendimiento de las tres muestras seleccionadas:

Tabla I: Rendimiento logrado a partir de 3 métodos de lectura

GRUPOS
A B C
9 5 8
7 8 4
8 4 5
4 6 2
7 7 6
6 9 3
9 7 5
6 3


La suma de cuadrados calculada para una serie de puntuaciones se obtiene a partir de cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes, la segunda de las cuales facilita considerablemente el cálculo. Si utilizáramos la primera de ellas, nos veríamos obligados a trabajar con números decimales, lo cual implica siempre un redondeo y una consiguiente pérdida de información.

Fórmula Matemática[D]

En el ejemplo que nos ocupa, podríamos comenzar construyendo una tabla que nos permita el cálculo de la suma de cuadrados total (ver tabla 2). Esta suma de cuadrados total representa la variabilidad total del grupo.

Tabla 2: Tabla para el cálculo de la suma de cuadrados total

Xi Xi2
9 81
7 49
8 64
4 16
7 49
6 36
9 81
A 6 36
B 5 25
8 64
4 16
6 36
7 49
9 81
7 49
C 8 64
4 16
5 25
2 4
6 36
3 9
5 25
3 9
ΣXi = 138
ΣXi2 = 920


Teniendo en cuenta estos cálculos, la suma de cuadrados total será:

Fórmula Matemática[D]

Fórmula Matemática[D]

Calculemos ahora la suma de cuadrados intragrupo, es decir, la variación registrada en el interior de cada uno de los tres grupos considerados. Para un grupo A, con nA puntuaciones, este cálculo podrá realizarse a partir de las diferencias entre cada puntuación y la media del grupo. Utilizaremos la segunda de las expresiones para el cálculo de sumas de cuadrados, que como ya se señaló, resulta más cómoda:

Fórmula Matemática[D]

Para facilitar el cálculo hemos construido la tabla 3.

Tabla 3: Tabla para el cálculo de la suma de cuadrados intragrupos

GRUPOS
A B C
Xi Xi2 Xi Xi2 Xi Xi2
9 81 5 25 8 64
7 49 8 64 4 16
8 64 4 16 5 25
4 16 6 36 2 4
7 49 7 49 6 36
6 36 9 81 3 9
9 81 7 49 5 25
6 36 3 9
n 8 7 8
ΣXi 56 46 36
ΣXi2 412 320 188
Símbolo[D] 7.00 6.57 4.5


Calcularemos la suma de cuadrados correspondiente a la variación dentro de cada uno de los grupos, teniendo en cuenta la expresión anterior:

SCA-intra = 412 - 562/8 = 20

SCB-intra = 320 - 462/7 = 17.71

SCC-intra = 188 - 362/8 = 26

La suma de cuadrados dentro de los grupos, que recoge la variación intragrupo, mide el grado en que las puntuaciones de cada muestra varían respecto a la media del grupo. Su valor será el resultante de sumar las tres sumas parciales de cuadrados intragrupo.

SCintra = SCA-intra + SCB-intra + SCC-intra

SCintra = 63.71

La suma de cuadrados intragrupos (SCintra) puede expresarse mediante las siguientes fórmulas equivalentes, en las que se indica la suma de todas las sumas de cuadrados parciales correspondientes a los k grupos considerados.

Fórmula Matemática[D]

Fórmula Matemática[D]

La suma de cuadrados entre grupos indica la variabilidad debida a la variable independiente. Para calcularla, prescindiremos de las variaciones intragrupo y consideraremos que las n¡ puntuaciones de cada grupo coinciden con la media.

A partir de tales puntuaciones podemos calcular la suma de cuadradas respecto a la media global para todas las puntuaciones. Así, para un grupo A compuesto de nA puntuaciones, la contribución a la varianza intergrupos en el seno de un grupo más amplio en el que la puntuación media es Símbolo[D], vendría dada por la correspondiente suma de cuadrados, que podría ser calculada mediante la siguiente expresión:

Fórmula Matemática[D]

La tabla 4 nos facilitará el cálculo de la variación intergrupos correspondientes a cada uno de los tres grupos considerados en el ejemplo. La media de las 23 puntuaciones asciende a 6, como puede comprobar el lector realizando sencillos cálculos.

Tabla 4: Tabla para el cálculo de la suma de cuadrados intergrupos

n Símbolo[D] Símbolo[D] Símbolo[D]
8 7 1 1
7 6.57 0.57 0.3249
8 4.5 -1.5 2.25


Fórmula Matemática[D]

SCinter = SCA-inter + SCB-inter + SCC-inter

SCinter = 28.27

En general, la suma de cuadrados intergrupos puede expresarse como la suma de las variabilidad correspondiente a cada uno de los k grupos considera dos, utilizando para ello dos expresiones que resultan equivalentes:

Fórmula Matemática[D]

Fórmula Matemática[D]

En realidad, hubiera bastado hallar el valor de dos de las tres sumas de cuadrados que acabamos de calcular, puesto que la tercera se obtiene a partir de las anteriores. En efecto, dado que la variabilidad total (suma de cuadrados total) puede ser descompuesta en la suma de la variabilidad experimental (suma de cuadrados intergrupos) y la variabilidad debida al error (suma de cuadrados intragrupo), bastaría despejar el valor desconocido en la siguiente expresión:

SCtotal = SCinter + SCinter

Copyright 2007, Autores y Colaboradores. Cite/attribute Resource. page_79. (2008, September 16). Retrieved October 25, 2014, from ocwus Web site: http://ocwus.us.es/metodos-de-investigacion-y-diagnostico-en-educacion/analisis-de-datos-en-la-investigacion-educativa/Bloque_II/page_79.htm. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License