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El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos

 

2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3-El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos| 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |


2 .3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos

 



      Estructura de nudos rígidos en el Polígono El Manchón - Tomares - (Sevilla)


1. INTRODUCCIÓN

Los conceptos generales desarrollados en el apartado anterior, referentes a la aplicación del equilibrio estático para el cálculo de las estructuras de barras de nudos articulados son válidos en el caso que nos ocupa ahora: estructuras de barras de nudos rígidos.

No obstante se producen una serie de peculiaridades que justifican un tratamiento diferenciado de ambas tipologías estructurales, por cuanto en las estructuras de barras de nudos articulados, con cargas en los nudos, solamente se producen en las barras solicitaciones por axiles (tracción o compresión simple) mientras que en las estructuras de nudos rígidos las barras se encuentran sometidas a axiles pero también a cortantes, a flectores y a torsores.

Los nudos así como las barras y conjuntos de barras que forman estas estructuras de barras de nudos rígidos deberán cumplir las leyes del equilibrio estático, en cuanto constituyen elementos, sólidos y conjuntos de sólidos sometidos a sistemas de fuerzas y de momentos tales que sus posicionamientos son invariables en el tiempo (lo que implica sistemas inerciales nulos) y ello implica que la resultante y momento resultante de tales sistemas han de ser cero.

Como hemos referido en el apartado anterior las barras que forman las estructuras no son sólidos rígidos, desde el punto de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales y por ello mientras que en el caso de barras sometidas a axiles las deformaciones que se producen son solamente de alargamiento y acortamiento, en el caso de barras sometidas a flectores y torsores, se producirán también deformaciones de flexión y torsión.

Insistimos en que una estructura, conjunto de barras, se deforma y por tanto hemos de analizarla no sólo desde el punto de vista de los esfuerzos sino también desde el punto de vista de las deformaciones, ahora bien en algunos aspectos podemos considerarla como un sólido rígido y susceptible de aplicársele las leyes del equilibrio estático propias de la Mecánica del sólido rígido.

Vemos que las estructuras de barras de nudos rígidos presentan una mayor complejidad por ser mayor, que en el caso de las estructuras de nudos articulados, tanto el conjunto de solicitaciones en nudos, barras, conjuntos de barras, etc. como el conjunto de desplazamientos, deformaciones y arrastres que definen el comportamiento en deformación de tales estructuras.

Aquí nos vamos a referir a estructuras de barras rectas, que son la gran mayoría, de manera que quedan excluidas otras formas como los arcos, etc.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)
Algunos ejemplos de estructuras de nudos rígidos

2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS

El equilibrio estático puede aplicarse en forma análoga a como hemos referido en el apartado anterior (estructuras planas de nudos articulados) para el caso que nos ocupa de estructuras planas de nudos rígidos.

Lo anterior se produce dado que cualquier sólido ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico, que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas y momentos.

    1. APLICACIÓN AL CONJUNTO DE LA ESTRUCTURA

    En una estructura como la que podemos ver en la figura siguiente formada por barras unidas entre sí mediante nudos rígidos y sometida a un conjunto de cargas distribuidas y puntuales en las barras, las vinculaciones exteriores que actúan son A1, A2 y A3 (empotramientos).

    Vamos a utilizar el equilibrio estático, que es en definitiva la expresión matemática de que no hay movimiento, debido a que el conjunto de fuerzas y momentos que actúan sobre la estructura presentan resultante y momento resultante de valor cero.

    Al plantear el equilibrio estático a esta estructura en su conjunto tendremos que:
      • El número de ecuaciones que podemos plantear es de tres.
      • El número de incógnitas es de nueve, tres en cada uno de los empotramientos (A1x, A1y, MA1, A2x, A2y, MA2, A3x, A3y, MA3 ).
    En esta forma de aplicación del equilibrio estático estamos expresando que la estructura plana de nudos rígidos, entendida en su conjunto, ni se desplaza en las dos direcciones x , y que definen un plano ni gira alrededor de un eje z perpendicular al plano x , y referido anteriormente.

    En cada empotramiento tendremos una fuerza de cualquier dirección, en el plano (dos componentes - x , y -) y un momento en el eje z.
    La estructura que estamos tratando se encuentra en un plano vertical sometida a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias que actúan en los forjados de las edificaciones arquitectónicas.

    Un aspecto muy importante a resaltar es que la diferencia entre las ecuaciones aplicadas al conjunto de la estructura y el número de incógnitas (en el sistema de fuerzas y momentos de reacción) determina el número de incógnitas hiperestáticas exteriores, que en el caso de la estructura de la figura anterior es de seis.

    La estructura de la figura anterior es por tanto hiperestática de grado seis y necesitaremos para calcular sus reacciones en apoyos, además de las ecuaciones de equilibrio estático, otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como son las condiciones de deformación.

    Por tanto, sólo en el caso de estructuras isostáticas exteriores (tres incógnitas en las reacciones para el caso de estructuras planas), con el equilibrio estático aplicado al conjunto de la estructura podemos calcular las reacciones en su vinculación y por ello podemos decir que en el caso de estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio estático son necesarias para el cálculo de las reacciones, pero no suficientes, tal y como sucede en el caso de estructuras isostáticas.

    Denominamos Fi a una fuerza genérica y Ri a una reacción igualmente genérica. Siendo MAP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de acción y MRP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de reacción, se cumplirá que:

    Vemos que se pueden plantear las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a:

    • Equilibrio de fuerzas en eje x.
    • Equilibrio de fuerzas en eje y.
    • Equilibrio de momentos en eje z.

Vemos que el planteamiento del equilibrio estático al conjunto de la estructura no soluciona en la mayoría de los casos de estructuras de nudos rígidos, la determinación del sistema de vinculaciones exteriores.
Por ejemplo en el caso de la estructura de la figura siguiente, tenemos seis incógnitas de vinculación exterior y tres ecuaciones de equilibrio ( el grado de hiperestaticidad exterior es : 3 = 6 - 3 ).

Necesitaremos un método de cálculo de estructuras hiperestáticas para poder determinar las solicitaciones en la estructura de la figura, aparte de las ecuaciones que se derivan de plantear el equilibrio estático al conjunto de la estructura.

Determinadas condiciones de deformación impuestas implican la existencia de vinculaciones exteriores, de manera que el grado de hiperestaticidad de esta estructura sería mayor, si por ejemplo consideramos la estructura como intraslacional ya que habría que añadir las condiciones de deformación impuestas al grado de hiperestaticidad que se deduce de la vinculación.

En la figura siguiente representamos las solicitaciones de vinculación exterior R1 y R2 que se producen en los nudos D y E, para que la estructura sea intraslacional.

2. APLICACIÓN A PARTES DE LA ESTRUCTURA

La aplicación del equilibrio estático a una parte de la estructura es un método totalmente general y que se corresponde con el planteamiento de que si un conjunto de sólidos está en equilibrio, cualquier subconjunto de sólidos que lo constituyen deberá estar necesariamente en equilibrio también.

Este método obliga a comprender la aplicación del principio de liberación sustituyendo el resto de las barras, por su acción sobre la parte a la que vamos a aplicar el equilibrio estático.

En el gráfico anterior hemos reflejado una parte de la interacción que se produce entre diferentes barras de la estructura.

En concreto se trata de poner de manifiesto la interacción de los pilares sobre las vigas, desde el punto de vista de las solicitaciones horizontales sobre dichas vigas y por ello, en este caso, lo que se estudia en dicho gráfico es el equilibrio horizontal de las vigas de la estructura.

Aprender a plantear el equilibrio estático a diferentes elementos o partes de una estructura es muy importante para comprender el comportamiento físico de las vinculaciones que actúan sobre las estructuras.

De forma análoga a como se plantea en la figura anterior la interacción, en cuanto a los esfuerzos horizontales, de los pilares sobre las vigas, con vistas a determinar las vinculaciones horizontales, en D y E, podemos plantear la interacción de las vigas sobre los pilares, en B, C, D y E, para obtener los valores de las vinculaciones verticales en A y F.


3. APLICACIÓN A NUDOS DE LA ESTRUCTURA

En un nudo de una estructura de nudos rígidos habrá de producirse no solamente el equilibrio de las fuerzas en las dos direcciones que definen el plano ( x , y ) sino que además habrá de producirse equilibrio en momentos (en dirección z perpendicular al plano x,y ).

Ello es debido a que en los extremos de las barras que confluyen en los nudos existen momentos no nulos, en contraposición al caso de estructuras de nudos articulados con cargas en los nudos en que solamente hay fuerzas derivadas de los axiles.

En la figura anterior vemos que la suma de los momentos en los extremos de barras que confluyen en un nudo debe ser cero, como consecuencia del equilibrio en momentos.

Sin embargo, pueden existir nudos mixtos como podemos ver en la figura siguiente donde por ejemplo en el nudo H confluyen las barras i , j , g y l .

Las barras i , l y g constituyen un nudo de empotramiento elástico (lo que habitualmente denominamos como nudo rígido) mientras que la barra j se articula en el nudo H. Por tanto tenemos una diferente forma de constituir el nudo H por cuanto habrá de producirse:

  • Equilibrio de momentos entre las barras i , l y g de forma que la suma de los momentos de los extremos de las barras que confluyen en dicho nudo sea cero.
  • Equilibrio de fuerzas entre las barras i , l , j y g de forma que la suma de las fuerzas que confluyen en dicho nudo, como consecuencia de las solicitaciones por axil y cortante en dichas barras, sea cero.

    4. APLICACIÓN A BARRAS DE LA ESTRUCTURA

    En la figura anterior estamos representando el equilibrio estático que se produce en la viga CD de una de las estructuras que estamos utilizando como referencia, punto 1, tomando los valores del Diagrama de Flectores.

    Planteando el equilibrio estático a la barra CD podemos obtener el valor de Vc y de Vd.

    Realizando el procedimiento en todas las barras de la estructura podemos obtener el Diagrama de Cortantes, que vemos en la figura siguiente, partiendo del Diagrama de Flectores y de las cargas que actúan sobre la estructura.

    Finalmente quisiera resaltar la importancia de una aplicación correcta del equilibrio estático a las estructuras planas de nudos rígidos, de forma que una vez obtenido el Diagrama de Flectores, la aplicación adecuada del equilibrio estático a parte de la estructura y a las barras nos permitirá obtener tanto los Diagramas de Cortantes como los Diagramas de Axiles.

    También la aplicación del equilibrio estático a partes de la estructura nos permitirá obtener las Reacciones en los apoyos de la misma y en otras vinculaciones exteriores de la estructura.

    De ahí la importancia de la aplicación del equilibrio estático en forma adecuada ya que, si sabemos aplicarlo, podemos obtener gran cantidad de información acerca de las solicitaciones sobre las secciones de las barras de la estructura y sobre el sistema de fuerzas y momentos de reacción, mientras que si lo aplicamos mal no podremos sino obtener un conjunto de ecuaciones redundantes.


    3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS

    Nos vamos a referir en este apartado desde un punto de vista general al conjunto de operaciones o de etapas que componen el cálculo de una estructura plana o espacial de barras de nudos rígidos.

    En primer lugar hemos de precisar que los nudos denominados como rígidos no presentan la característica esencial de la rigidez ( que es la ausencia de deformación alguna ) sino que permiten un giro y un desplazamiento, razón por la que hemos de entender que la denominación de tales nudos no es la más adecuada sino la de nudos de empotramiento elástico.

    Un empotramiento elástico es aquel en que, a diferencia del empotramiento perfecto, se produce un giro proporcional al momento que lo solicita.

    Sabemos que en el empotramiento perfecto no se produce giro alguno y frente al momento de acción que lo solicite aparece un momento de reacción tal que se produce el equilibrio.
    No obstante seguiremos utilizando tal denominación ( nudo rígido ) con la salvedad anterior debido a que es una denominación muy extendida.

    Las fases del cálculo de una estructura de barras de nudos rígidos son las siguientes:

    1. Determinación del sistema de cargas exteriores

    En esta fase hemos de definir el sistema de cargas que a diferencia del caso de estructuras de nudos articulados es más complejo (fuerzas y momentos en barras y en nudos, cargas puntuales y distribuidas ) que actúan sobre la estructura e identificar las vinculaciones, las condiciones de deformación impuestas, etc.

    Para ello es necesario un conocimiento no sólo estructural sino constructivo, con más razón en esta tipología estructural y especialmente en el caso de estructuras espaciales, que ayude a definir el sistema de acciones más similar a la forma de trabajo de la estructura, de forma que la simplificación que hemos de introducir cuando definimos un sistema de cargas sea la más idónea.

    2. Definición de la estructura

    En esta fase hemos de definir la forma ( topología de la estructura ), las secciones de las barras y además las propiedades de Inercia ( Ix , Iy , Ip ) como veremos en las aplicaciones prácticas.
    Vemos que la definición de la estructura es más completa que en el caso de estructuras de nudos articulados con cargas en los nudos.

    3. Obtención de los axiles, cortantes, flectores y torsores en barras

    En esta fase hemos de obtener no sólo los axiles (tracción - compresión) que actúan en las barras que forman la estructura, sino que además hemos de obtener los diagramas de cortantes y flectores para el caso de estructuras planas.

    En el caso de estructuras espaciales tendremos la complejidad añadida de la flexión en dos ejes y la actuación de los torsores.
    Vemos por tanto que la fase de cálculo de solicitaciones que habremos de resolver mediante los principios, teoremas y métodos que iremos viendo a lo largo del desarrollo del programa de la asignatura es más compleja debido a las características de esta tipología estructural, especialmente cuando nos referimos a estructuras espaciales.

    4. Cálculo de las deformaciones en nudos

    En esta fase hemos de calcular las deformaciones que se van a producir en los nudos de la estructura, como consecuencia de la actuación del sistema de cargas, por ejemplo mediante la metodología matricial.

    El vector de movimientos que se va a producir en cada uno de los nudos de una estructura, por la acción de las cargas que actúan en dichos nudos, será de dimensiones:
      • 3x1 en el caso de estructuras planas.
      • 6x1 en el caso de estructuras espaciales.


    5. Comprobaciones y optimización

    En esta última fase habremos de efectuar las comprobaciones convenientes acerca de:

    • Las tensiones que se producen en las barras que deben ser inferiores a la capacidad de resistencia del material.
    • Las deformaciones que han de quedar por debajo de unos límites admisibles.

     

    Hemos de ajustar el dimensionamiento de las barras de forma que los valores de las secciones sean suficientes para resistir los esfuerzos pero que no se desperdicie material. Al proceso de ajuste del dimensionamiento es a lo que nos referimos como optimización.

    En líneas generales hemos de indicar que la mayor complejidad de esta tipología estructural, frente a la tipología de nudos articulados, hace que el cálculo de estructuras espaciales de nudos rígidos sea bastante más difícil.


 



 

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Copyright 2006, Autores y Colaboradores. Cite/attribute Resource. García, E. N. (2007, March 05). El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos. Retrieved April 25, 2014, from ocwus Web site: http://ocwus.us.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras/calculo-de-estructuras-1/apartados/apartado2_3.html. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License