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Estructura de nudos rígidos en el Polígono El Manchón
- Tomares - (Sevilla)
 1.
INTRODUCCIÓN
Los conceptos generales desarrollados en el apartado anterior,
referentes a la aplicación del equilibrio estático
para el cálculo de las estructuras de barras de nudos articulados
son válidos en el caso que nos ocupa ahora: estructuras de
barras de nudos rígidos.
No obstante se producen una serie de peculiaridades que justifican
un tratamiento diferenciado de ambas tipologías estructurales,
por cuanto en las estructuras de barras de nudos articulados, con
cargas en los nudos, solamente se producen en las barras solicitaciones
por axiles (tracción o compresión simple) mientras
que en las estructuras de nudos rígidos las barras se encuentran
sometidas a axiles pero también a cortantes, a flectores
y a torsores.
Los nudos así como las barras y conjuntos de barras que
forman estas estructuras de barras de nudos rígidos deberán
cumplir las leyes del equilibrio estático, en cuanto constituyen
elementos, sólidos y conjuntos de sólidos sometidos
a sistemas de fuerzas y de momentos tales que sus posicionamientos
son invariables en el tiempo (lo que implica sistemas inerciales
nulos) y ello implica que la resultante y momento resultante de
tales sistemas han de ser cero.
Como hemos referido en el apartado anterior las barras que forman
las estructuras no son sólidos rígidos, desde el punto
de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las
leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales y por
ello mientras que en el caso de barras sometidas a axiles las deformaciones
que se producen son solamente de alargamiento y acortamiento, en
el caso de barras sometidas a flectores y torsores, se producirán
también deformaciones de flexión y torsión.
Insistimos en que una estructura, conjunto de barras, se deforma
y por tanto hemos de analizarla no sólo desde el punto de
vista de los esfuerzos sino también desde el punto de vista
de las deformaciones, ahora bien en algunos aspectos podemos considerarla
como un sólido rígido y susceptible de aplicársele
las leyes del equilibrio estático propias de la Mecánica
del sólido rígido.
Vemos que las estructuras de barras de nudos rígidos presentan
una mayor complejidad por ser mayor, que en el caso de las estructuras
de nudos articulados, tanto el conjunto de solicitaciones en nudos,
barras, conjuntos de barras, etc. como el conjunto de desplazamientos,
deformaciones y arrastres que definen el comportamiento en deformación
de tales estructuras.
Aquí nos vamos a referir a estructuras de
barras rectas, que son la gran mayoría, de manera que quedan
excluidas otras formas como los arcos, etc.
 (
Pulse sobre la imagen para ampliar)
Algunos ejemplos de estructuras de nudos rígidos
2.
EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS
El equilibrio estático puede aplicarse en forma análoga
a como hemos referido en el apartado anterior (estructuras planas
de nudos articulados) para el caso que nos ocupa de estructuras
planas de nudos rígidos.
Lo anterior se produce dado que cualquier sólido
ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico,
que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que
está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante
y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas
y momentos.
1. APLICACIÓN AL CONJUNTO DE LA ESTRUCTURA
En una estructura como la que podemos ver en la figura siguiente
formada por barras unidas entre sí mediante nudos rígidos
y sometida a un conjunto de cargas distribuidas y puntuales en
las barras, las vinculaciones exteriores que actúan son
A1, A2 y A3 (empotramientos).
Vamos a utilizar el equilibrio estático,
que es en definitiva la expresión matemática de que
no hay movimiento, debido a que el conjunto de fuerzas y momentos
que actúan sobre la estructura presentan resultante y momento
resultante de valor cero.
Al plantear el equilibrio estático a esta estructura en su
conjunto tendremos que:
-
El número de ecuaciones que podemos
plantear es de tres.
-
El número de incógnitas es
de nueve, tres en cada uno de los empotramientos (A1x, A1y,
MA1, A2x, A2y, MA2, A3x, A3y, MA3 ).
En esta forma de aplicación del equilibrio
estático estamos expresando que la estructura plana de nudos
rígidos, entendida en su conjunto, ni se desplaza en las
dos direcciones x , y que definen un plano ni gira alrededor de
un eje z perpendicular al plano x , y referido anteriormente.
En cada empotramiento tendremos una fuerza de cualquier dirección,
en el plano (dos componentes - x , y -) y un momento en el eje z.
La estructura que estamos tratando se encuentra
en un plano vertical sometida a cargas que también se encuentran
en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias que actúan
en los forjados de las edificaciones arquitectónicas.
Un aspecto muy importante a resaltar es que la diferencia entre
las ecuaciones aplicadas al conjunto de la estructura y el número
de incógnitas (en el sistema de fuerzas y momentos de reacción)
determina el número de incógnitas hiperestáticas
exteriores, que en el caso de la estructura de la figura anterior
es de seis.
La estructura de la figura anterior es por tanto hiperestática
de grado seis y necesitaremos para calcular sus reacciones en
apoyos, además de las ecuaciones de equilibrio estático,
otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como
son las condiciones de deformación.
Por tanto, sólo en el caso de estructuras isostáticas
exteriores (tres incógnitas en las reacciones para el caso
de estructuras planas), con el equilibrio estático aplicado
al conjunto de la estructura podemos calcular las reacciones en
su vinculación y por ello podemos decir que en el caso
de estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio
estático son necesarias para el cálculo de las reacciones,
pero no suficientes, tal y como sucede en el caso de estructuras
isostáticas.
Denominamos Fi a una fuerza genérica y Ri
a una reacción igualmente genérica. Siendo M AP
el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas
y momentos de acción y M RP
el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas
y momentos de reacción, se cumplirá que:
Vemos que se pueden plantear las tres ecuaciones de equilibrio
correspondientes a:
-
Equilibrio de fuerzas en eje x.
-
Equilibrio de fuerzas en eje y.
-
Equilibrio de momentos en eje z.
Vemos que el planteamiento del equilibrio estático
al conjunto de la estructura no soluciona en la mayoría de
los casos de estructuras de nudos rígidos, la determinación
del sistema de vinculaciones exteriores.
Por ejemplo en el caso de la estructura de la
figura siguiente, tenemos seis incógnitas de vinculación
exterior y tres ecuaciones de equilibrio ( el grado de hiperestaticidad
exterior es : 3 = 6 - 3 ).
Necesitaremos un método de cálculo
de estructuras hiperestáticas para poder determinar las solicitaciones
en la estructura de la figura, aparte de las ecuaciones que se derivan
de plantear el equilibrio estático al conjunto de la estructura.
Determinadas condiciones de deformación impuestas implican
la existencia de vinculaciones exteriores, de manera que el grado
de hiperestaticidad de esta estructura sería mayor, si por
ejemplo consideramos la estructura como intraslacional ya que habría
que añadir las condiciones de deformación impuestas
al grado de hiperestaticidad que se deduce de la vinculación.
En la figura siguiente representamos las solicitaciones de vinculación
exterior R1 y R2 que se producen en los nudos D y E, para que
la estructura sea intraslacional.
2. APLICACIÓN A PARTES DE LA ESTRUCTURA
La aplicación del equilibrio estático a una parte
de la estructura es un método totalmente general y que
se corresponde con el planteamiento de que si un conjunto de sólidos
está en equilibrio, cualquier subconjunto de sólidos
que lo constituyen deberá estar necesariamente en equilibrio
también.
Este método obliga a comprender la aplicación del
principio de liberación sustituyendo el resto de las barras,
por su acción sobre la parte a la que vamos a aplicar el
equilibrio estático.
En el gráfico anterior hemos reflejado una parte de la
interacción que se produce entre diferentes barras de la
estructura.
En concreto se trata de poner de manifiesto la interacción
de los pilares sobre las vigas, desde el punto de vista de las
solicitaciones horizontales sobre dichas vigas y por ello, en
este caso, lo que se estudia en dicho gráfico es el equilibrio
horizontal de las vigas de la estructura.
Aprender a plantear el equilibrio estático a diferentes
elementos o partes de una estructura es muy importante para comprender
el comportamiento físico de las vinculaciones que actúan
sobre las estructuras.
De forma análoga a como se plantea en la
figura anterior la interacción, en cuanto a los esfuerzos
horizontales, de los pilares sobre las vigas, con vistas a determinar
las vinculaciones horizontales, en D y E, podemos plantear la interacción
de las vigas sobre los pilares, en B, C, D y E, para obtener los
valores de las vinculaciones verticales en A y F.
3. APLICACIÓN A NUDOS DE LA ESTRUCTURA
En un nudo de una estructura de nudos rígidos habrá
de producirse no solamente el equilibrio de las fuerzas en las
dos direcciones que definen el plano ( x , y ) sino que además
habrá de producirse equilibrio en momentos (en dirección
z perpendicular al plano x,y ).
Ello es debido a que en los extremos de las barras que confluyen
en los nudos existen momentos no nulos, en contraposición
al caso de estructuras de nudos articulados con cargas en los
nudos en que solamente hay fuerzas derivadas de los axiles.
En la figura anterior vemos que la suma de los momentos en los
extremos de barras que confluyen en un nudo debe ser cero, como
consecuencia del equilibrio en momentos.
Sin embargo, pueden existir nudos mixtos como podemos ver en
la figura siguiente donde por ejemplo en el nudo H confluyen las
barras i , j , g y l .
Las barras i , l y g constituyen un nudo de empotramiento elástico
(lo que habitualmente denominamos como nudo rígido) mientras
que la barra j se articula en el nudo H. Por tanto tenemos una
diferente forma de constituir el nudo H por cuanto habrá
de producirse:
-
Equilibrio de momentos entre las barras i ,
l y g de forma que la suma de los momentos de los extremos de
las barras que confluyen en dicho nudo sea cero.
-
Equilibrio de fuerzas entre las barras i ,
l , j y g de forma que la suma de las fuerzas que confluyen
en dicho nudo, como consecuencia de las solicitaciones por axil
y cortante en dichas barras, sea cero.
4. APLICACIÓN A BARRAS DE LA ESTRUCTURA
En la figura anterior estamos representando el equilibrio estático
que se produce en la viga CD de una de las estructuras que estamos
utilizando como referencia, punto 1, tomando los valores del Diagrama
de Flectores.
Planteando el equilibrio estático a la barra CD podemos
obtener el valor de Vc y de Vd.
Realizando el procedimiento en todas las barras de la estructura
podemos obtener el Diagrama de Cortantes, que vemos en la figura
siguiente, partiendo del Diagrama de Flectores y de las cargas
que actúan sobre la estructura.
Finalmente quisiera resaltar la importancia de una aplicación
correcta del equilibrio estático a las estructuras planas
de nudos rígidos, de forma que una vez obtenido el Diagrama
de Flectores, la aplicación adecuada del equilibrio estático
a parte de la estructura y a las barras nos permitirá obtener
tanto los Diagramas de Cortantes como los Diagramas de Axiles.
También la aplicación del equilibrio estático
a partes de la estructura nos permitirá obtener las Reacciones
en los apoyos de la misma y en otras vinculaciones exteriores
de la estructura.
De ahí la importancia de la aplicación del equilibrio
estático en forma adecuada ya que, si sabemos aplicarlo,
podemos obtener gran cantidad de información acerca de
las solicitaciones sobre las secciones de las barras de la estructura
y sobre el sistema de fuerzas y momentos de reacción, mientras
que si lo aplicamos mal no podremos sino obtener un conjunto de
ecuaciones redundantes.
3.
ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS
Nos vamos a referir en este apartado desde un punto
de vista general al conjunto de operaciones o de etapas que componen
el cálculo de una estructura plana o espacial de barras de
nudos rígidos.
En primer lugar hemos de precisar que los nudos denominados como
rígidos no presentan la característica esencial de
la rigidez ( que es la ausencia de deformación alguna ) sino
que permiten un giro y un desplazamiento, razón por la que
hemos de entender que la denominación de tales nudos no es
la más adecuada sino la de nudos de empotramiento elástico.
Un empotramiento elástico es aquel en que, a diferencia
del empotramiento perfecto, se produce un giro proporcional al momento
que lo solicita.
Sabemos que en el empotramiento perfecto no se produce
giro alguno y frente al momento de acción que lo solicite aparece
un momento de reacción tal que se produce el equilibrio.
No obstante seguiremos utilizando tal denominación
( nudo rígido ) con la salvedad anterior debido a que es una
denominación muy extendida.
Las fases del cálculo de una estructura de barras de nudos
rígidos son las siguientes:
1. Determinación del sistema de cargas exteriores
En esta fase hemos de definir el sistema de cargas que a diferencia
del caso de estructuras de nudos articulados es más complejo
(fuerzas y momentos en barras y en nudos, cargas puntuales y distribuidas
) que actúan sobre la estructura e identificar las vinculaciones,
las condiciones de deformación impuestas, etc.
Para ello es necesario un conocimiento no sólo estructural
sino constructivo, con más razón en esta tipología
estructural y especialmente en el caso de estructuras espaciales,
que ayude a definir el sistema de acciones más similar
a la forma de trabajo de la estructura, de forma que la simplificación
que hemos de introducir cuando definimos un sistema de cargas
sea la más idónea.
2. Definición de la estructura
En esta fase hemos de definir la forma ( topología de
la estructura ), las secciones de las barras y además las
propiedades de Inercia ( Ix , Iy , Ip ) como veremos en las aplicaciones
prácticas.
Vemos que la definición de la estructura es más
completa que en el caso de estructuras de nudos articulados con
cargas en los nudos.
3. Obtención de los axiles, cortantes, flectores y
torsores en barras
En esta fase hemos de obtener no sólo los axiles (tracción
- compresión) que actúan en las barras que forman
la estructura, sino que además hemos de obtener los diagramas
de cortantes y flectores para el caso de estructuras planas.
En el caso de estructuras espaciales tendremos
la complejidad añadida de la flexión en dos ejes y
la actuación de los torsores.
Vemos por tanto que la fase de cálculo de
solicitaciones que habremos de resolver mediante los principios,
teoremas y métodos que iremos viendo a lo largo del desarrollo
del programa de la asignatura es más compleja debido a las
características de esta tipología estructural, especialmente
cuando nos referimos a estructuras espaciales.
4. Cálculo de las deformaciones en nudos
En esta fase hemos de calcular las deformaciones que se van a
producir en los nudos de la estructura, como consecuencia de la
actuación del sistema de cargas, por ejemplo mediante la
metodología matricial.
El vector de movimientos que se va a producir en
cada uno de los nudos de una estructura, por la acción de
las cargas que actúan en dichos nudos, será de dimensiones:
5. Comprobaciones y optimización
En esta última fase habremos de efectuar las comprobaciones
convenientes acerca de:
Hemos de ajustar el dimensionamiento de las barras de forma que
los valores de las secciones sean suficientes para resistir los
esfuerzos pero que no se desperdicie material. Al proceso de ajuste
del dimensionamiento es a lo que nos referimos como optimización.
En líneas generales hemos de indicar que
la mayor complejidad de esta tipología estructural, frente
a la tipología de nudos articulados, hace que el cálculo
de estructuras espaciales de nudos rígidos sea bastante más
difícil.
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