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El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados
| 2 .2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados |
Las estructuras planas y espaciales están formadas por barras que son sólidos rígidos, desde un punto de vista del análisis de los esfuerzos exteriores que las solicitan, en cuanto a la aplicación del equilibrio estático. No obstante lo anterior sabemos que las barras que forman tales estructuras planas y espaciales no son sólidos rígidos, desde el punto de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales. Ello puede suponer una contradicción en cuanto a la
naturaleza de las barras que componen una estructura plana o espacial de barras,
pero tal contradicción es sólo aparente. Existen muchas tipologías estructurales y formas de clasificarlas. En nuestro caso, que nos orientamos hacia el cálculo de estructuras, parece lógico comenzar a estudiar las estructuras de barras con nudos articulados y cargas en los nudos por lo que ello supone de simplificación en los cálculos. Posteriormente pasaremos al análisis de las estructuras que exigen un mayor conjunto de conocimientos y metodologías de cálculo.Aquí nos vamos a referir a estructuras de barras rectas, que son la gran mayoría, de manera que quedan excluidas otras formas como los arcos, etc.
En esta tipología estructura es muy importante el diseño de las uniones, para conseguir formar nudos con la adecuadas características, desde el punto de vista del comportamiento estructural y desde el punto de vista del montaje de dichas estructuras.
En este tema que hace referencia a una introducción al cálculo de estructuras de las diferentes tipologías estructurales vamos a desarrollar las formas de aplicación del equilibrio estático, conectando aspectos de la Estática del sólido rígido, analizados previamente en Mecánica, con el Cálculo de Estructuras de barras planas. Nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos también. Vamos a utilizar el equilibrio estático para el cálculo de las vinculaciones exteriores o reacciones, así como también para la obtención de esfuerzos en barras, mediante equilibrio estático en nudos. Al plantear el equilibrio estático a una estructura plana de nudos articulados la vamos a tratar como un sólido rígido que está sometido a un sistema de fuerzas y de pares de fuerzas en el plano de la estructura.
Las estructuras que estamos tratando se encuentran por tanto en un plano vertical sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento, es decir son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología los pórticos planos, habitualmente calculados tanto en edificación arquitectónica como industrial. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de equilibrio estático se cumplen siempre, tanto si la estructura es isostática como si es hiperestática, tanto si está la estructura contenida en un único plano, como si es una estructura espacial. Lo anterior se produce dado que cualquier sólido ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico, que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas y momentos. Es importante resaltar que si la estructura es hiperestática ( presenta un número de vínculos exteriores superior a tres, en el caso de estructura plana que nos ocupa) necesitaremos para calcular sus reacciones en apoyos, además de las ecuaciones de equilibrio estático, otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como son las condiciones de deformación Por tanto, sólo en el caso de estructuras isostáticas exteriores, con el equilibrio estático aplicado al conjunto de la estructura podemos calcular las reacciones en su vinculación Podemos decir que en el caso de estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio estático son necesarias para el cálculo de las reacciones, pero no suficientes, tal y como sucede en el caso de estructuras isostáticas.
En esta forma de aplicación del equilibrio estático estamos expresando que la estructura plana, entendida en su conjunto, ni se desplaza en las dos direcciones x,y que definen un plano ni gira alrededor de un eje z perpendicular al plano x,y referido anteriormente. Por ello podemos plantear las ecuaciones de equilibrio estático en el plano, que denominaremos xy, donde se encuentra el sistema de barras y el sistema de cargas, entendiendo aquí incluidas las reacciones, que solicitan a la estructura objeto de estudio.
En el caso de la figura anterior nos sirve para la determinación de reacciones, en las vinculaciones exteriores, que son : Dx = 0; Dy = 2500 Denominamos Fi,x , Fi,y a las fuerzas genéricas de acción , en ejes x e y respectivamente y análogamente Ri,x , Ri,y a las fuerzas genéricas de reacción. Siendo MAP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de acción y MRP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de reacción, tendremos
Vemos que se pueden plantear las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a:
2. APLICACIÓN A PARTES DE LA ESTRUCTURA
Nos referimos aquí al
método de las secciones, desarrollado por Ritter. Tiene la virtud de permitir un tratamiento más rápido del análisis de las barras de una estructura, en comparación con los métodos de Cremona y de los nudos, especialmente cuanto más barras tenga la estructura.Aporta Ritter un procedimiento, basado en el Principio de liberación, para obtener los axiles en determinadas barras de una estructura isostática de nudos articulados, de forma que se agiliza el cálculo de las barras que se pueden estimar como críticas en una estructura. Consiste en "seccionar" (de forma imaginaria) la estructura completa a través de tres barras, sustituyendo el resto de la estructura por su acción sobre la misma, que corresponderá a los axiles en dichas tres barras.Resulta así un conjunto parcial de barras que constituye una parte de la estructura a la cual le aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático entre fuerzas exteriores y axiles, a un lado de la sección considerada Es de utilidad siempre que se quiera calcular el valor de un axil en una barra de una estructura articulada isostática, exclusivamente, sin tener que calcular el conjunto de las barras de la estructura y siempre que previamente hallamos calculado las reacciones ó vinculaciones exteriores de dicha estructura isostática. Por tanto podemos calcular los valores críticos, en cordones inferiores y superiores, de una estructura de barras articuladas, tales como cerchas y vigas de celosía, de forma más rápida que con Cremona o con el Método de los Nudos y de ahí exclusivamente la popularidad del método Curiosamente Ritter aporta otro método sobre deformaciones en barras por la aplicación de un momento en su extremo, utilizado posteriormente por Cross para su método de propagación de momentos, muy poco referido y utilizado, aunque de mayor mérito científico que el de las secciones La aplicación del equilibrio estático a una parte de la estructura es un método totalmente general y que se corresponde con el planteamiento de que si un conjunto de sólidos está en equilibrio, cualquier subconjunto de sólidos que lo constituyen deberá estar necesariamente en equilibrio también Este método obliga a comprender la aplicación del principio de liberación sustituyendo el resto de las barras, por su acción sobre la parte a la que vamos a aplicar el equilibrio estático Es necesario, para que pueda ser resoluble el sistema de ecuaciones que se derivan de la aplicación del equilibrio estático, el que sólamente haya tres incógnitas, en este caso axiles, para estructuras planas de nudos articulados, con cargas en los nudos. Al aplicarse a estructuras isostáticas planas de nudos articulados es necesario que solamente haya tres reacciones escalares a determinar, para que presente solución el problema de determinación del sistema de reacciones. En el gráfico que sigue puede verse la forma de aplicación del método de Ritter. Las barras en azul se encuentran solicitadas a tracción y las barras en rojo a compresión.
3. A NUDOS, tal y como lo hace analíticamente el método de los Nudos y gráficamente el método de Cremona.
El método de Cremona ha sido muy utilizado, por su sencillez operatoria y conceptual y por ser más prolijo el método analítico de los nudos. Además el método de Cremona permite una cierta revisión acerca de los resultado parciales que se van obteniendo, más compleja de realizar que con el método de los nudos. La utilización de las calculadoras de un cierto nivel ya solucionó considerablemente el problema de la operatoria del método de los nudos y ello supuso un cierto detrimento de los métodos gráficos, en beneficio de los métodos analíticos. En cualquier caso existen una serie de limitaciones de estos métodos derivadas de las posibilidades que permite el planteamiento del equilibrio en un punto y por ello sólo podemos resolver nudos en los que existan únicamente dos incógnitas. Calculamos mediante estos métodos de Cremona y de los Nudos estructuras isostáticas interiores y exteriores, trianguladas y resueltas generalmente mediante mallas belga, americana, inglesa, ... normalmente realizadas utilizando perfiles laminados.
En la figura anterior puede verse la aplicación del método de Cremona a una cercha de una nave industrial, para el cálculo de los axiles derivados de la acción de las cargas gravitatorias y las cargas de viento. A efectos de los métodos de los Nudos y de Cremona, las barras que forman estas estructuras planas de nudos articulados con cargas en los nudos están sometidas únicamente a axiles, sin solicitaciones por cortantes ni flectores, razón por la que su solicitación es solamente la de tracción o compresión simple. Ello supone una cierta simplificación que es considerada permisible ya que, en realidad, los elementos de unión en nudos son cartelas y no articulaciones y ello supone un cierto grado de empotramiento en las barras, ya que no se permite el giro libre de los extremos de las barras. 4. A BARRAS
Ello nos permite pasar del equilibrio en nudos (fuerzas) a las solicitaciones en las barras (axiles de tracción o compresión). Hemos de referir que el planteamiento del equilibrio de las barras nos permite el análisis de las solicitaciones cuando hay cargas en barras, fuera de los nudos No obstante lo anterior, en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación.
Nos referimos aquí al caso que se produce cuando en estructuras articuladas trianguladas hay un vínculo puntual, de forma que entre dos estructuras isostáticas interiores, hay un vínculo interior, que es generalmente una articulación, una rótula, de forma que podríamos decir que el conjunto está formado por dos subconjuntos de barras vinculados entre sí.
En la figura anterior podemos ver en el nudo B una vinculación interior entre las dos barras, de forma que aparece un conjunto de fuerzas Fb y -Fb de resultante nula, como corresponde a una vinculación interior. Cuando planteamos el equilibrio estático al conjunto de la estructura no podemos obtener el valor de los vínculos interiores, ya que una característica de tales vínculos es el de ser de resultante nula. Por lo anterior, para poder obtener el valor de tales vínculos interiores tenemos que aplicar correctamente el Principio de Liberación para plantear el equilibrio estático a cada subconjunto. También puede existir este vínculo interior, una rótula, en una estructura porticada, de estructura de nudos rígidos, como es el caso de los pórticos de tres articulaciones. En tales articulaciones se produce el hecho de que el momento flector, debido a las solicitaciones exteriores, por las propias características de las rótulas en secciones es nulo. Dichas rótulas permiten el giro entre las secciones, de forma que no se produce continuidad de la tangente de la elástica en tal punto. Finalmente quisiera resaltar la importancia de una aplicación correcta del equilibrio estático a las estructuras planas de nudos articulados, de forma que las ecuaciones matemáticas resultantes no sean una combinación lineal de otras (lo cual haría inútil o redundante a tales ecuaciones) sino ecuaciones independientes entre sí y por tanto válidas para obtener una solución.
Nos vamos a referir en este apartado desde un punto de vista general al conjunto de operaciones o de etapas que componen el cálculo de una estructura plana o espacial de barras de nudos articulados. Las fases del cálculo son las siguientes:
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