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Principios. Teoremas. Métodos

2.1-Principios. Teoremas. Métodos| 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |


2 .1.- Principios. Teoremas. Métodos


Antigua estación ferroviaria de Plaza de Armas: un singular edificio de Sevilla

 


1. INTRODUCCIÓN

Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una serie de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y los Procedimientos..
La Teoría de estructuras, al igual que la Resistencia de Materiales y la Elasticidad se asienta sobre una serie de Principios.

Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos.
A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos.

Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concreción, que sería:
Principio -> Teorema -> Método -> Procedimiento


2. PRINCIPIOS

Vamos a referir seguidamente los Principios sobre los que se apoya la materia que nos ocupa: la teoría de estructuras


1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

El Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783).
" Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas"

Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición:
Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas.
Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero.
Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación.


2. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

Corresponde a Saint-Venant (1797-1886) el enunciado del principio que lleva su nombre acerca de la actuación de un sistema de fuerzas sobre una sección.
" A cierta distancia de la sección donde actúa un sistema de fuerzas, la distribución de tensiones es prácticamente independiente de la distribución del sistema de fuerzas, siempre que su resultante y momento resultante sean iguales "

Este principio permite el que podamos calcular las tensiones en fibras y estudiar las secciones en barras, en base a los diagramas de solicitaciones (axiles, cortantes, flectores y torsores).
El procedimiento para obtener tales diagramas se basa en el concepto de reducción de un sistema de vectores en un punto desarrollado en la teoría de vectores y que puede verse en cualquier texto de Mecánica general.

3. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717:

" Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo"

El sentido que se le atribuye en el párrafo anterior al término "virtual" es coincidente con el término matemático "diferencial".

El principio de los desplazamiento virtuales sirve de base a la Estática Analítica que como sabemos es un planteamiento para definir posiciones de equilibrio en los sólidos y conjuntos de sólidos rígidos .


4. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

" Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga "

Este principio es muy importante al establecer una relación entre el trabajo de deformación exterior ( función de las solicitaciones exteriores: axiles, cortantes, flectores, torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energía de deformación interior ( función del tensor de tensiones y las deformaciones volumétricas).

El P.T.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su " Mecánica Analítica " donde coloca las bases de dicha disciplina.

No obstante a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782).

El principio de los trabajos virtuales (P.T.V.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano, que es muy importante para la determinación de deformaciones y resolución de estructuras hiperestáticas, especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtas.

5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI

Es importante este principio para establecer la distribución de tensiones en fibras. Corresponde fundamentalmente a Santiago Bernouilli (1654-1705) y se refiere a que las secciones transversales de una barra que se deforma por flexión permanecen planas y normales a las fibras deformadas.

Hemos de citar como científicos que trabajaron sobre en la enunciación, demostración y comprobación de este principio, además del anteriormente referido, a Saint-Venant, a Navier y a Euler.


3. TEOREMAS

Vamos a relacionar de forma sucinta los diferentes teoremas en que se fundamenta la teoría de estructuras.


1. TEOREMA DE MAXWELL

Aunque se cite únicamente el nombre de Clerk Maxwell (1831-1879) hemos de considerar la aportación de otros científicos como Mohr y Clapeyron .
Maxwell en 1864 expone el teorema que denominó " Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos " y que actualmente se conoce como Teorema de Maxwell como sigue:

" Si en un sistema elástico actúa una causa en un punto , A , la deformación que se produce en otro punto del sistema , B , es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B "

Mohr en 1874 desarrolla por separado el mismo teorema, introduciendo la terminología de " Trabajo virtual " y presentando un conjunto de aplicaciones.

Heinrich Muller-Breslau en 1886 hace también aportaciones tomando como base los trabajos de Maxwell y Mohr.

2. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI

" En un sistema elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas (A), al aplicar otro sistema de fuerzas (B), es igual al trabajo realizado por el sistema (B) al aplicar el sistema de fuerzas (A) "

También es denominado Teorema de la Reciprocidad y puede enunciarse así:

" El trabajo efectuado por las fuerzas correspondientes a un estado de carga (A) durante los desplazamientos originados por un segundo estado de carga (B), es igual si la carga fuera (B) y los desplazamientos los correspondientes al sistema (A). "


3. TEOREMA DE MENABREA

Menabrea en 1858 enunció el Teorema del " Trabajo mínimo " :

" En un sistema de cuerpos elásticos, el valor de las reacciones hiperestáticas, correspondientes a los enlaces superabundantes, hacen estacionario el potencial interno del sistema "

Aunque puede utilizarse para la determinación de vinculaciones hiperestáticas, ha quedado superado por la operatividad del Teorema de Castigliano.


4. TEOREMAS DE CASTIGLIANO

En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Método del Trabajo Mínimo.

1er. Teorema :
En 1876 presenta su " Método de cálculo de deformaciones " como un primer teorema, que dice:

" La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de la deformación que produce "

2º Teorema :
En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema :

" Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas, la distribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo ".

La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en la Teoría de Estructuras, pues aunque los fundamento teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas.


5. TEOREMAS DE MOHR

Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el cálculo de deformaciones.

1er. Teorema:

" El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez " .

2º. Teorema:

" La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".

En la figura indicamos en la sección 2, mediante una línea vertical (y) el valor calculado mediante el 2º T. de Mohr, tomando como referencia la sección 1, en donde hemos dibujado la tangente, así como el ángulo () , girado entre las secciones 1 y 2, calculado utilizando el 1er. T. de Mohr.


6. TEOREMA DE BARRÉ

Este teorema es utilizado para la determinación de los flectores máximos que se producen en vigas sometidas a cargas móviles:

" El momento flector máximo que se origina en una viga sometida a un tren de cargas móviles, se encuentra bajo una rueda cuando esta rueda y la resultante total del tren de cargas equidista del centro de la viga "


7. TEOREMA DE CLAPEYRON

Este teorema es utilizado para establecer una relación entre el trabajo exterior de las cargas y la energía interna de deformación de los sólidos elásticos y puede enunciarse como sigue:

" La energía de deformación almacenada en un cuerpo elástico es igual a la mitad de la suma de los productos de las fuerzas exteriores por los correspondientes desplazamientos ".

El teorema de Clapeyron es muy importante por la posibidad que aporta de calcular las energías de deformación internas de los sólidos elásticos en función de las solicitaciones exteriores (axiles, cortantes, flectores y torsores) y además está en la base del teorema de Maxwell.


4. MÉTODOS

Vamos a referir de forma muy resumida un conjunto de métodos que nos van a permitir calcular las estructuras.


1. MÉTODO DE LAS ÁREAS DE MOMENTO

El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873.

2. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este método.


3. MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA

Fundamentado en el método de la " viga conjugada " se aplica a las estructuras planas.


4. MÉTODO DE MULLER-BRESLAU

El método de Muller-Breslau presenta utilidad para el análisis de estructuras porticadas de grado de hiperestaticidad máxima 3. Utiliza el concepto de "centro elástico" que expuso Carl Culman en 1866 en sus trabajos sobre estática gráfica.

5. MÉTODO DE RIEGER

El método de Rieger consiste en dividir la estructura en pórticos biarticulados y plantear para cada uno de ellos una " ecuación peculiar " expresando la continuidad del entramado mediante las ecuaciones de la estática y otras de deformación que expresen la continuidad de las elásticas.

6. MÉTODOS DE RITTER

W. Ritter introduce el concepto de " masa elástica " para el análisis de estructuras de nudos rígidos hiperestáticas. Se establece así un método de cálculo de estructuras hiperestáticas basado en el momento que hay que aplicar en el extremo de una barra para girar un ángulo unidad, estando el otro extremo de la barra en las condiciones que corresponde a la estructura.

7. MÉTODO DE LOS PUNTOS FIJOS

Es un método gráfico desarrollado por Suter y Strassner en 1916 y está basado en la determinación de los "puntos fijos" en cada tramo de una viga continua.

8. MÉTODO DE CROSS

Es un método desarrollado por Cross y Morgan, profesores de la Universidad de Illinois, que permite el cálculo de estructuras complejas mediante un método muy operativo.
Establece un método de aproximaciones sucesivas que permite definir los diagramas de flectores de las estructuras de pórticos múltiples de nudos rígidos y sobre la base de ellos determinar la validez de los dimensionamientos, establecidos en la estructura. La importancia del método de Cross de deriva de que es relativamente sencillo y, además, aporta un cierto sentido físico e intuitivo, lo que permite evaluar incluso el propio proceso de cálculo.
Hasta la aparición de este método, publicado en 1932, el estudio de algunas estructuras que se pueden realizar por Cross sólo eran calculables mediante procedimientos empíricos y aproximados.

9. MÉTODO DE ANALOGÍA DE LA COLUMNA

Es un método que se denomina también de la Columna Equivalente y que fue desarrollado por Hardy Cross en 1930 y se basa en plantear la analogía que se produce entre el sistema de momentos hiperestáticos en una estructura continua y las tensiones en una columna corta y sin peso propio cargada excéntricamente.
Se utiliza especialmente para el cálculo de arcos y pórticos sencillos.

10. MÉTODO DE BUTTY

Es un método que se emplea para el análisis de estructuras complicadas. El método consiste en reducir la estructura compleja en otras parciales de resolución más sencilla.

11. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Es un método gráfico para determinar los desplazamientos virtuales en cualquier sistema coplanario con un grado de libertad.
Su trazado se basa en el concepto de centro instantáneo de rotación y en la semejanza geométrica entre el reticulado real y la figura formada por los desplazamientos y las fuerzas, de forma que la ecuación de los trabajos virtuales puede considerarse como una ecuación de equilibrio de momentos.

12. MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.

13. MÉTODO DE LOS NUDOS

Es un método analítico para el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy utilizado por su claridad conceptual y la facilidad operatoria del mismo.

14. MÉTODO DE CREMONA

Es un método gráfico que permite el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy popular por su facilidad de desarrollo, así como por lo característico que resulta.
Actualmente la introducción del cálculo por ordenador ha potenciado los métodos analíticos y arrinconado los métodos gráficos.

15. MÉTODO DE LAS SECCIONES

Para el estudio de estructuras de nudos articulados W. Ritter elaboró otro método que denominamos como Método de las Secciones.
El método de las secciones consiste en seccionar una estructura plana isostática de barras articuladas, con cargas puntuales en los nudos, de forma que resulten exclusivamente tres incógnitas (axiles) y plantear las ecuaciones de equilibrio a una parte de la estructura.

16. MÉTODO DE ZIMMERMANN

Es un método gráfico para el análisis de reticulados planos. Su aplicación es menos frecuente que los métodos gráficos anteriormente referidos.

17. MÉTODO DE HENNEBERG

Es un método para el análisis de estructuras planos de nudos articulados de una cierta complejidad y que no pueden resolverse mediante el método de los Nudos, el método de las Secciones ó el método de Cremona, por la existencia de una hiperestaticidad como puede ser una barra superabundante.
Consiste fundamentalmente en sustituir las barras hiperabundantes por sistemas de dos fuerzas unitarias iguales pero de sentido contrario.

18. MÉTODO DE OSTENFELD

Es un método que se puede utilizar para el análisis de estructuras aporticadas con vínculos laterales que fue inicialmente expuesto por Alex Bendixen en 1914 y desarrollado posteriormente por Ostenfeld en 1926.

19. MÉTODO DE CONDICIONES DE CONTORNO

Es un método interesante por cuanto relaciona la existencia de vínculos hiperestáticos exteriores con las condiciones de deformación que implican, siendo por tanto un método que ayuda a comprender el comportamiento físico de las estructuras.

20. MÉTODO MATRICIAL

La metodología matricial supone el aprovechamiento de la capacidad operativa del ordenador, de forma que el trabajo matemático de resolución de un sistema de ecuaciones, utilizando los planteamientos de finales del siglo XIX, se traslada al ordenador.
Así, un procedimiento matemático que inicialmente era prácticamente inabordable se convierte, por el avance de los ordenadores, en metodología útil y de precisión.
La metodología matricial es aplicable a la totalidad de las estructuras planas, superficiales y espaciales de nudos articulados, rígidos o mixtos, razón por la cual es prácticamente imprescidible actualmente.

21. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Existe un conjunto de estructuras que matemáticamente no son resolubles mediante una ecuación diferencial integrable ni se puede resolver su integración por métodos numéricos.
Es decir que no se puede obtener una ecuación diferencial, bien por que presentan en todas las dimensiones el mismo orden o por la aparición de problemas locales donde se produce un régimen de tensiones totalmente diferente al de una viga apoyada.
Para la resolución de estas tipologías estructurales es para lo que es útil el método de los elementos finitos.

El método de los elementos finitos (F.E.M.) aparece recientemente y tiene un basamento en la metodología matricial, en el principio de trabajos virtuales y en el método de condiciones de contorno, presentando un método para el análisis del comportamiento de elementos superficiales y volumétricos.

Su aplicación intenta plantear procedimientos de cálculo para elementos continuos, de forma que puedan tenerse criterios de análisis en el dimensionamiento de tales elementos estructurales.

El Método de los Elementos Finitos tiene su origen en las necesidades de la industria aeronáutica, donde los fuselajes y otros elementos resistentes precisan de una optimización de las relaciones resistencia-peso y ello conlleva a formas especiales para cuyo análisis estructural el M.E.F. es fundamental.
Así la formulación del M.E.F. puede ser atribuida a los ingenieros de la Boeing : Turner, Clough, Martín y Top en su artículo : " Stiffness and deflection análisis of complex structures " juntamente con Argyris en su publicación:
" Energy theorems and structural análisis "
Otros autores que destacan en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos fueron Melosh, Gallager, Strome y Hurty, aunque será el planteamiento que realiza Zienkiewick-Cheung el que puede considerarse como definitivo por cuanto establece la operatoria del M.E.F. y los fundamentos matemáticos del método.


 

 

 

2.1-Principios. Teoremas. Métodos| 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

Copyright 2006, Autores y Colaboradores. Cite/attribute Resource. García, E. N. (2007, March 05). Principios. Teoremas. Métodos. Retrieved October 23, 2014, from ocwus Web site: http://ocwus.us.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras/calculo-de-estructuras-1/apartados/apartado2_1.html. Esta obra se publica bajo una licencia Creative Commons License. Creative Commons License